Как пишется «узнаешь» или «узнаеш»?

Слово, о котором Вы спрашиваете, является глаголом в форме второго лица единственного числа, а в окончаниях таких глаголов после Ш всегда пишется мягкий знак. Следовательно, правильно писать "узнаешь".

Орфограмма русского языка: на конце глаголов второго лица настоящего и будущего времени после шипящих пишется мягкий знак.

Слово «узнаешь» это глагол второго лица будущего времени. Можно сделать этот вывод из того, что к нему можно задать вопрос «ты что сделаешь?». Если так , то по вышеуказанной орфограмме после буквы «ш» на конце глагола «узнаешь» надо писать мягкий знак.

Вывод – слово «узнаешь» пишется с мягким знаком на конце.