Функция f(x)=x^2−3,75x-ln(x+­2). Чему равно значение точки минимума?

f(x)=x^2 - 3,75x − ln(x+2)

Область определения: x > -2

f'(x) = 2x - 3,75 - 1/(x+2)

В точках минимума и максимума производная равна 0.

2x - 3,75 - 1/(x+2) = 0

x > -2 (область определения логарифма), умножаем все на (x+2)

2x(x+2) - 3,75(x+2) - 1 = 0

2x^2 + 4x - 3,75x - 7,5 - 1 = 0

2x^2 + 0,25x - 8,5 = 0

Умножаем все на 4, избавляемся от дробей.

8x^2 + x - 34 = 0

Переведем десятичные дроби в обычные

3,75 = 3 3/4 = 15/4

D = 1 - 4*8*(-34) = 1 + 32*34 = 1 + 1088 = 1089 = 33^2

x1 = (1 - 33)/16 = -32/16 = -2 - не подходит в область определения.

x2 = (1 + 33)/16 = 34/16 = 17/8; f(17/8) = (17/8)^2 - (15/4)*(17/8) - ln(17/8 + 2) = 289/64 - 255/32 - ln(33/8) =

= -221/64 - ln(33,8) ~ -221/64 - 3,52 = 221/64 - 352/100 = 221/64 - 88/25 = (221*25 - 88*64)/(64*25) = (5525-5632)/1600 = -117/1600

Но это примерный ответ, потому что ln(33,8) число иррациональное, я его написал примерно.

Ответ: x(min) = 17/8; f(x(min)) ~ -117/1600

y'(x) = 0 <=> (x − 2)(8x + 17) = 0

y' = 0 при x = 2

y' < 0 при -2 < x < 2;

y' > 0 при x > 2

x(min) = 2;

y(2) = −11 − ln4.

Сразу находим производную f'(x)=2*x-3,75-1/(x+­2), где x>-2 (учитывая обл.опр. ф-ции f(x))

Нас будут интересовать только нули производной, т.к при x>-2 производная всегда определена.

2x^2 +4x-3,75x-7,5 -1=0, 2x^2+0,25x-8,5=0, x1=2, x2=-2,125 (второй корень отбрасываем)

При переходе через точку x=2 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, действительно f(x) при x=2 достигает минимума. Находить значение функции в точке минимума нет необходимости. Вспоминаем, что называется точкой минимума. Точкой минимума называется точка x=x0, в которой функция достигает минимума.

Поэтому ответ: 2

Adblock
detector